Варто знати

 

Комплексні числа

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо 

обмежитись розглядом лише дійсних чисел. 

Вже досить давно під час розв’язування різних задач

 виникла потреба добувати 

квадратний корінь з від’ємних чисел. 

Щоб ця дія стала можливою, ввели множину нових чисел.

 

ОЗНАЧЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА І УЯВНОЇ ОДИНИЦІ

Число a+bi, де a і b — будь-які дійсні числа, i — уявна одиниця, називається комплексним числом (a — дійсна частина, bi — уявна частина комплексного числа, а b — коефіцієнт при уявній частині).

Число, квадрат якого дорівнює −1, позначають буквою i і називають уявною одиницею (i— перша буква латинського слова imaginarius — уявний).

Тобто, для символу i виконується рівність

i⋅i=i2=−1.

Запис a+bi називають алгебраїчною формою комплексного числа.

Примітка! Слово «комплексний» означає складений.

Часто комплексне число позначають буквою z і записують z=a+bi.

Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.

Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності, комутативності та дистрибутивності.

Дивовижні криві

 

Математичні криві у фізиці

Поговоримо про найпростіші криві, 

котрі часто зустрічаються при вивченні шкільного курсу фізики.

 

Пряма та коло.

Найбільш простими є пряма та коло, котрі, поза сумнівом, є найбільш вивченими. Найдивовижнішим для цих ліній є те, що пряма є частковим випадком кола великого радіуса.

Еліпс.

Мал. 1

Розглянемо криву, котру описує точка М так, що сума відстаней цієї точки до двох нерухомих точок F₁, F₂  є незмінною (мал.1). Отриману криву називають еліпсом. 

Для еліпса є справедливим (мал. 2):

F₁, F₂  - фокуси еліпса,

F₁М + F₂М = А₁А₂ = const, де М – довільна точка еліпса,

В₁, В₂, А₁, А₂ – вершини еліпса,

А₁F₂ + A₂F₂ = А₁А₂ – велика піввісь еліпса,

В₁В₂ – мала піввісь еліпса.

Будуємо еліпс

 

Мал. 2

Еліпси зустрічаємо в природі та побуті.

1. Якщо у фокусі еліпса розмістити джерело світла, а сам еліпс виготовити з добре відполірованої поверхні металу, то промені, відбившись від цієї поверхні зберуться в другому фокусі (мал. 3).

Мал. 3

Математика для фізиків

 

Поняття похідної

В кожній точці, похідна функції f(x) = 1 + x∙sinx² дорівнює нахилу лінії, яка дотична до кривої. Коли похідна додатня — дотична зелена, коли від'ємна — дотична червона, а коли дорівнює нулю — чорна.

 1. Означення  

Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (Δx) в цьому випадку визначається, як x−x₀, а приріст функції (Δy) — як f(x)−f(x₀). Тоді, якщо існує границя

то вона називається похідною функції f в точці x₀.

Або:   

похідна визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).

Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням. 

Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

 2. Геометричний зміст похідної  

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀:

y' = f'(x₀) = k = tgα.

Тілесний кут

Тілесний кут, одиниці вимірювання 

Фізика, як наука, в своїх дослідженнях використовує як інструмент – математичний апарат. Бажаєш знати фізику – вивчи математику! Із численних математичних понять акцентую увагу на тілесному куті. Дане поняття широко експлуатують фізики при вивченні різних розділів: механіки, оптики, електрики… Проте володіють цим поняттям, як правило, слабо. Це пов’язано як із складністю самого поняття, так і з тим, що математики дуже рідко задають задачі на вступі у ВУЗи на тілесний кут (востаннє масово це було в 50-х роках XX століття).

Тілесним кутом називають частину простору, котру обмежено конічною поверхнею із замкнутою направляючою.

Тілесний кут, як і кут між двома прямими, поширюється безмежно.

Мал.1 Приклади тілесних кутів

В яких одиницях вимірюють тілесний кут? 

Варто знати...

                    ТЕОРЕМА ПІФАГОРА                 

та її доведення

Теорема Піфагора — одна із засадничих теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що теорема доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого вона й названа.

Формулювання:

У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

або

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Вектор

Додаємо вектори правильно...

Про роботу з векторами читати  тут.

Додавання векторів