Добра фізика 5: Узагальнені закони Кеплера

Закони Кеплера


Закони Кеплера: швидкість; прискорення

Відомо, довільні два масивні тіла притягуються один до одного. Це фізичне явище називається гравітацією (від лат. Gravis – важкий).

Прояв гравітації: водопади; важкість портфеля з підручниками; падіння (і як наслідок – руйнування) улюбленого горняти…

Наскільки великими є сили гравітаційного притягання (гравітаційне відштовхування не спостерігається)?

Два учні, масами по 50 кг, котрі розмовляють між собою, взаємодіють із силою 1,6·10^-7 Н ( 1Н дорівнює вазі тіла масою наближено 102 г).

Ця сила є дуже малою. Проте Земля (М_з = 6·10²⁴кг) притягує Місяць (М_м = 7·10²²кг) з силою 10²⁰Н, а Сонце (М_с = 1,99·10³⁰кг) притягує Землю з силою 10²²Н!

Cаме ці колосальні сили визначають рух планет в Сонячній системі, рух цілих Галактик… Гравітаційні сили є визначальними в розвитку Всесвіту та його майбутнього.

Сила, з якою взаємодіють довільні два масивні тіла, визначається законом Всесвітнього тяжіння (встановленим Ньютоном у 1687році):

де m₁,m₂ – маси взаємодіючих тіл;

R – відстань між їх центрами;

G = 6.67 ·10^-11H·м²/кг² – гравітаційна постійна (вперше визначена у 1793 році Генрі Кавендішом).

Зауваження: закон Всесвітнього тяжіння справедливий лише для точкових тіл, тіл сферичної або кулястої форми з незмінною густиною.

Закони Кеплера

Узагальнюючи результати вікових астрономічних спостережень, Кеплер встановив закони, за якими рухаються планети у Сонячній системі.

Перший закон Кеплера.

Усі планети рухаються по еліптичних орбітах, в одному із фокусів яких знаходиться Сонце.

Другий закон Кеплера.

За рівні проміжки часу радіус-вектор планети описує рівні площі:

∆S = L·∆t/2m

Цей закон безпосередньо випливає із закону збереження моменту кількості руху.

Третій закон Кеплера.

Квадрати періодів обертання різних планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх еліпсів:

T²/a³ = const

Нехай планета масою m рухається по коловій орбіті навколо зорі М. З другого закону Ньютона знаходимо:

(mω²R = GmM/R²) → (4π²R/T² = GM/R²) →

→(T²/R³ = 4π²/GM = const)

Закони Кеплера застосовні не лише для руху планет, але і для руху їх природніх і штучних супутників.

Ньютон виявив деяку неточність у законах Кеплера і дещо узагальнив їх.

Узагальнений Ньютоном перший закон Кеплера:

Під дією сили тяжіння одне небесне тіло може рухатися навколо іншого по одній з наступних кривих: коло, еліпс, парабола, гіпербола.

Даний закон має універсальний характер і є справедливим не лише для планет, але і для всіх інших природніх і штучних небесних тіл.

Якщо розглянути систему Сонце – Земля, то, внаслідок взаємодії, і Сонце і Земля рухатимуться навколо спільного центру мас. Враховуючи відстань від Землі до Сонця (≈15·10⁷ км), та відношення їх мас (1: 3,3·10⁵), можемо знайти відстань від центра Сонця до спільного центра мас, котра дорівнює ≈450 км (тобто спільний центр мас Землі і Сонця практично суміщається з центром Сонця).